Задача для 4 класса

[Skibi]

Петя и Коля, встретившись на улице, увидели написанное мелом на асфальте двузначное число. Петя прибавил к нему 4 и затем поделил на 7, а Коля пока Петя считал дал Пете по морде и отнял у него деньги и мобилу.

[Барабашка]

Агамемнон wrote:

Dushik wrote: Вот еще одна гениальная математическая детская задача. Петя и Коля, встретившись на улице, увидели написанное мелом на асфальте двузначное число. Петя прибавил к нему 4 и затем поделил на 7, а Коля поделил его на 9 и затем отнял 1. Результаты совпали. Какое число было написано? А точно такой вопрос? Тогда ответа быть не может. Может всё-таки результат важен. Результат - ДЕСЯТЬ)))

Почему не может? пиши любой. Либо 66 либо 99

[MrStryde]

Dushik wrote:

Задали тут моему сыну задачу. Знайка, незнайка, Винтик и Шпунтик съели торт. Ели его по очереди.Каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трем другим едокам, что бы "работая" вместе, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не поочереди, а все вместе Прошу порешать.

Обсуждение не читал.

Пока не понял, как это предполагается решать в 4 классе, но я решил так.

Обозначим скорости поедания торта за V1, V2, V3, V4.
Обозначим реальное время, затраченное на еду, за t1, t2, t3, t4.
Будем мерять количество еды в тортах.

Согласно условию, ели по очереди, а в итоге съели 1 торт. Это записывается так:

(1) t1*V1+t2*V2+t3*V3+t4*V4 = 1

Дальше. За время, которое ел первый, остальные трое суммарной скоростью съели бы полторта. Это записывается так:

(2) t1*(V2+V3+V4) = 1/2

Аналогично,

(3) t2*(V1+V3+V4) = 1/2
(4) t3*(V1+V2+V3) = 1/2
(5) t4*(V2+V3+V4) = 1/2

Требуется найти, во сколько раз реально затраченное время (т.е. сумма четырёх времён) больше гипотетического для коллективных усилий по съеданию одного пирога. Гипотетическое равно 1/(V1+V2+V3+V4).

Обобщим.

-------------------

Дано:

(1) t1*V1+t2*V2+t3*V3+t4*V4 = 1
(2) t1*(V2+V3+V4) = 1/2
(3) t2*(V1+V3+V4) = 1/2
(4) t3*(V1+V2+V3) = 1/2
(5) t4*(V2+V3+V4) = 1/2

-------------------

Найти:

k = (t1+t2+t3+t4) / (1:(V1+V2+V3+V4)) = ?

-------------------

Решение:

k = (t1+t2+t3+t4) / (1:(V1+V2+V3+V4)) =
= (t1+t2+t3+t4)*(V1+V2+V3+V4) =
= t1*(V1+V2+V3+V4) + t2*(V1+V2+V3+V4) + t3*(V1+V2+V3+V4) + t4*(V1+V2+V3+V4) =
= t1*V1 + t1*(V2+V3+V4) + t2*V2 + t2*(V1+V3+V4) + t3*V3 + t3*(V1+V2+V4) + t4*V4 + t4*(V1+V2+V3) =
= (t1*V1+t2*V2+t3*V3+t4*V4) + t1*(V2+V3+V4) + t2*(V1+V3+V4) + t3*(V1+V2+V3) + t4*(V2+V3+V4)

О, чудо. Мы получили сумму из пяти выражений, все значения которых нам даны в условии. Подставляем все пять и находим ответ:

k = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3

-------------------

Ответ:

В 3 раза быстрее.

-------------------

Но это я так решил. Думаю, в 4 классе все эти же рассуждения должны быть представлены как-то проще (например, построением какой-нибудь наглядной геометрической фигуры).

Это рядовая задача или, надеюсь, всё же олимпиадная?

[Dushik]

Олимпиадная с повышенной трудностью

[MrStryde]

xandr wrote:

Пусть у нас есть 3 торта - первый второй и третий. Пусть первым ест Незнайка, он съедает свой кусок от первого торта, а его коллеги съедают половину второго. Вторым есть Знайка. Он опять же съедает свой кусок от первого, а его коллеги доедают второй. Аналогично все остальные. В итоге - все ели одновременно и съели три торта. А так как три торта в 3 раза больше одного то и ответ 3. Спасибо за задачу!!

А, да, именно так. Подсчёты в точности те же, но в форме, понятной в 4 классе, и в 10 раз короче по времени и месту.

[MrStryde]

Dushik wrote:

Решение ксандра правильно Я, как и все математики, вначале тоже решил составить систему уравнений, дошел до интегралов...

Да где тут интегралы?

[MrStryde]

Skibi wrote:

Я пытался рисовать - вот зная ответ конечно можно показать как ксандр и сделал. Я просто систему составил: t1v1+t2v2+t3v3+t4v4=1 t1(v2+v3+v4)=1/2 t2(v1+v3+v4)=1/2 t3(v1+v2+v4)=1/2 t4(v1+v2+v3)=1/2 T(v1+v2+v3+v4)=1 сложив первые пять получил: (v1+v2+v3+v4)(t1+t2+t3+t4)=3 T(v1+v2+v3+v4)=1 Вот собсна и все.

Угу.

[Dushik]

MrStryde wrote:

Dushik wrote: Решение ксандра правильно Я, как и все математики, вначале тоже решил составить систему уравнений, дошел до интегралов... Да где тут интегралы?

Сейчас не помню уже, но у меня получалась бесконечная сумма ряда, которую можно было заинтегралить

[MrStryde]

Dushik wrote:

Вот еще одна гениальная математическая детская задача. Петя и Коля, встретившись на улице, увидели написанное мелом на асфальте двузначное число. Петя прибавил к нему 4 и затем поделил на 7, а Коля поделил его на 9 и затем отнял 1. Результаты совпали. Какое число было написано?

Я опять сжульничал: решил уравнение, получил, что такого целого числа быть не может, и уже отсюда понял, что "гениальность" заключается в том, чтобы ребёнок последил за чётностью числа в обоих случаях.

Ведь за ней, да? Она ж не совпадает.

[MrStryde]

+4 чётность сохраняется, :7 чётность сохраняется
:9 чётность сохраняется, -1 чётность меняется

У одного число сохранило свою чётность, а у другого поменяло. Фиг совпадёт.

[Skibi]

MrStryde wrote:

Dushik wrote: Решение ксандра правильно Я, как и все математики, вначале тоже решил составить систему уравнений, дошел до интегралов... Да где тут интегралы?

Да Дю просто системы линейных уравнений разучился решать. Не кори его - он ведь постарше нас будет. Школа далеко в прошлом